2024秋季 - 数学分析(B1)(MATH 1006.04)

授课老师： 汪琥庭

上课时间与地点: 1(3,4) 3(3,4) 5(1,2) at 5201

课本: 数学分析讲义（第一册）- 程艺，陈卿，李平

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课程的基本信息（作业、习题课等）见此.

第一章 极限

• 1.1 实数
  • 可数与不可数，集合的基数
  • 定义实数的三种方法：有理Cauchy列的等价类, 无限十进制小数 , Dedekind分割
  • 实轴上的拓扑, 有限覆盖定理（实数完备性第六原理）
• 1.2 数列的极限
  • Toeplitz定理(推广Stolz定理): 使用该定理解决课本第25面的例1.2.20和第53面的习题11
  • Wallis公式
  • Stirling公式: 课本25面的习题1(4)和53面的习题10(2)是该公式的直接推论
• 1.3 函数的极限

第一次习题课讲义: 在此下载

第二章 连续

• 2.1 基本概念
  • 拓扑学语言下定义连续
  • 半连续性
• 2.2 闭区间上连续函数的性质
  • 连续函数的更多性质

第三章 导数

• 3.1 导数
  • 处处连续但处处不可导的函数: Weierstrass函数
• 3.2 微分
• 3.3 微分中值定理
  • Darboux函数：有介值性的函数
• 3.4 未定式的极限
• 3.5 单调性与凸性
  • 有界凸函数为常值函数
  • 凸函数在除了至多可数个点外可微
• 3.6 Taylor展开
  • 解析函数: 练习3.6.10中的函数不是解析的

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第四章 不定积分

• 4.1 不定积分的基本方法
  • 原函数不为初等函数的例子
• 4.2 有理函数的不定积分

第五章 定积分

• 5.1 积分
  • Lebesgue积分
• 5.2 可积性
• 5.3 基本应用
  • 利用积分计算转动惯量
  • Minkowski不等式
• 5.4 反常积分

第七次习题课讲义: 在此下载

第六章 常微分方程

• 6.1 一阶常微分方程
• 6.2 二阶线性常微分方程
  • 关于(高阶)常系数线性方程的解

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第七章 无穷级数

• 7.1 数项级数
  • 更多收敛判别法
• 7.2 函数项级数
• 7.3 幂级数与Taylor展开
• 7.4 级数的应用